Eratóstenes: Medida del radio de la tierra

Eratóstenes: Medida del radio de la tierra
                                    
Eratóstenes nació en Cirene en el año 276 a. C y se cree que era de origen caldeo. Fue matemático, astrónomo y geógrafo. Alrededor del año 255 a. C ,fue nombrado director de la Biblioteca de Alejandría por el rey Ptolomeo Evegetes. Trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo y los números primos. Hemos podido conocer algo de sus trabajos, merced a comentarios y citas de otros autores. Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue su trabajo sobre la medición de la Tierra, para hallar el radio de la tierra solo necesitó dos palos, una buena cabeza  y mucha curiosidad.  En esta práctica hemos intentado seguir su procedimiento lo mas fielmente posible, pero cn la ayuda de haber leido el libro anteriormente.




Procedimiento

Este ejercicio lo realizaremos sobre una superficie plana, ya que sin ella este ejercicio no se podria hacer, lo que hay que hacer es poner el papel en la dirección donde sale el sol y en donde se pone el sol (este- oeste). Colocaremos un gnomon, es decir una especie de obelisco  y cada media hora tomaremos la medida de la sombra que proyecta. Observamos que a las 12 de la mañana es cuando el sol da una iluminacion mayor por lo tanto la sombra adquirirá el mayor tamaño posible,  si seguimos avanzando en el tiempo veremos que despues del momento álcido de luz, el tamaño de la sombra disminuye poco a poco. Digamos que las distancias frente al tiempo  dentro de una gráfica sería una parábola.


Para tomar como referencia dos puntos tomaremos  Madrid y Jaén, la distancia entre ellas es de 335 km, en Madrid al mediodía  el sol tenía un ángulo de 48´09 grados y en Jaén  tenía  un ángulo de 52 ´25grados. Lo que  hizo eratostenes fue restar los dos angulos para poder hallar el ángulo que había entre las dos ciudades  tomando como centro el centro de la tierra.

52´25-48´09= 4´16 grados entre las dos ciudades  tomando como referencia el centro de la tierra.

El siguiente paso es medir el perímetro de la tierra para lo que utilizó una simple regla de tres.
Si en 4´16  grados la distancia es de 335 km en 360 grados la distancia sera x.

Perímetro=360x 335/4’16 = 32860´66 km es el radio de la tierra

Radio=32860´66/ 2x3,14 = 5318´93 km es el radio aproximado de la tierra

Este ejercicio nos aproxima  el radio de la tierra con un margen muy pequeño.

Realizado por:

Beltrán de Zavala

Lucas Férnandez

Daniel Salas

Capitulo 6: Galileo, caída libre de los cuerpos

1. ¿Es posible representar los datos (y, t) en una gráfica? 

I: y= 0 m; t= 0 s

II: y= 0,025 m; t= 0,08 s

III: y= 0,12 m; t= 0,16 s

IV: y= 0,27 m; t= 0,24 s

V: y= 0,49 m; t= 0,32 s

VI: y= 0,78 m; t= 0,4 s

VII: y= 1,13 m; t= 0,48 s

2. Con los datos obtenidos calculad la velocidad de la bola en función del tiempo para cada intervalo. Observad que la velocidad media es el incremento del desplazamiento respecto del tiempo:

v (t) = incremento de y/incremento de t

Tened en cuenta que lo que calculáis representa a la velocidad media en un intervalo. Se trata de una aproximación a lo que sería lo correcto: tener la velocidad instantánea de la bola en cada punto. Recordad que se trata de un MRUA.

I:

II:

III:

IV:

V:

VI:

3. Con los datos obtenidos representad gráficamente la velocidad para cada tramo en función del tiempo y analizad cualitativamente este gráfico. ¿Qué podéis decir sobre el tipo de movimiento que describe la bola de acero en su caída? ¿Está de acuerdo esta observación con vuestras expectativas?

La bola de acero lleva un movimiento rectilíneo y uniforme acelerado, la velocidad frente al tiempo representa una recta con denpiente positiva y creciente. 

La velocidad aumenta de forma proporcional al tiempo, mientras que la posición no, con la posición se obtiene una parábola. Si, nuestras expectativas están de acuerdo con lo observado.

4. A partir de la gráfica construida v(t), determinad el valor de la aceleración de la gravedad, g. Comparad el valor de g obtenido con el ya conocido.

El colmo sería utilizar una hoja de cálculo como Derive o Excel para listar los datos y representar las gráficas. Luego bastaría copiar la imagen e incluirla en la entrada. Si alguien no sabe como hacerlo, estaremos encantados de explicárselo.

G(obtenida)= -4,64 m/s·s

El resultado obtenido es muy aproximado al resultado que nos saldría si dividiesemos g/2, que sería igual a -4,9 m/s^2.

5. Si existe discrepancia entre el modelo teórico y el obtenido experimentalmente, detectad y analizad las posibles fuentes de error. El modelo teórico, es decir, lo que teóricamente se hubiera obtenido, lo podéis desarrollar utilizando las ecuaciones cinemáticas para la caída libre: h = 1/2gt2 y v = gt (considerad g = 9,8 m/s2) y representad la gráfica v-t para los valores de tiempo.

XX= X+V0(t-t0)1/2·(-g)·(t-t0)2


X= X+V0(t-t0)1/2·(-g)·(t-t0)2+V0(t-t0)1/2·(-g)·(t-t0)2

El valor que h
X= X+V0(t-t0)1/2·(-g)·(t-t0)2

6. Una cosa más: dado que estamos inmersos en el tema de Trabajo y Energía, ¿podríais calcular la velocidad de la bola en el punto 6 mediante el Teorema de Conservación de la energía?. Comparad el dato con la obtenida aplicando las ecuaciones cinemáticas para el movimiento de caida libre: v = gt (tomando g = 9.8 m/s2)

Punto 6 :
h= 1,13m
t= 0,48s


· Según el Teorema de Conservación de la energía:
“La masa ni se crea ni se destruye, solo se transforma”
Esto está íntimamente relacionado con la Energía mecánica ya que :

y como son constantes:

se pueden igualar(ya con sus respectivas sustituciones y simplificaciones):

·Según la ecuación cinemática de las caídas libres: